2.10. Äèíàìè÷åñêèå èçìåðåíèÿ è äèíàìè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè

2.10.1. Õàðàêòåðèñòèêè äèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèé

2.10.2. Äèíàìè÷åñêèå èçìåðåíèÿ è ïîãðåøíîñòè äåòåðìèíèðîâàííûõ

ëèíåéíûõ èçìåðèòåëüíûõ öåïåé

2.10.3. Äèíàìè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ

2.10.1. Õàðàêòåðèñòèêè äèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèé

Èçìåðåíèå íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèì (â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå), åñëè íåëüçÿ ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì âåëè÷èíû âî âðåìåíè. Íàïðèìåð, èçìåðåíèå ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÑÈ, êàê ïðàâèëî, îáëàäàþò èíåðöèîííîñòüþ è íå ìîãóò ìãíîâåííî ðåàãèðîâàòü íà èçìåíåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà. Ïîýòîìó ïðè èçìåðåíèè èçìåíÿþùåãîñÿ âî âðåìåíè ñèãíàëà õ ( t ) âñåãäà âîçíèêàåò ñîñòàâëÿþùàÿ ïîãðåøíîñòè, îáóñëîâëåííàÿ èíåðöèîííûìè (äèíàìè÷åñêèìè) ñâîéñòâàìè ÑÈ.

Ýòè ñâîéñòâà âûðàæàþò ñ ïîìîùüþ äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, îäíîçíà÷íî óñòàíàâëèâàþùèõ îòêëèê ÑÈ íà èçìåíåíèå âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ.  êà÷åñòâå òàêèõ õàðàêòåðèñòèê èñïîëüçóþò ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ; êîìïëåêñíûé êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è — àìïëèòóäíî-÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó (À×Õ); êîìïëåêñíóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü — ôàçî÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó (Ô×Õ); ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ — ðåàêöèþ íà åäèíè÷íûé ñêà÷îê; èìïóëüñíóþ (âåñîâóþ) ôóíêöèþ — ðåàêöèþ íà åäèíè÷íûé èìïóëüñ [10; 30; 55].
Óêàçàííûå õàðàêòåðèñòèêè âçàèìîñâÿçàíû, è ïî îäíîé èç íèõ ìîæíî íàéòè âñå îñòàëüíûå. Ìåòîäû èõ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ òàêæå øèðîêî îñâåùåíû â ëèòåðàòóðå ïî àâòîìàòè÷åñêîìó ðåãóëèðîâàíèþ.

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ äèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèé íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ àïïðîêñèìà öèè íàéäåííûõ èëè çàäàííûõ äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñ òèê; íàéòè àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé; ïîëèãîíîâ, ðÿäîâ è äð.) äëÿ âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñèãíàëîâ; îïðåäåëèòü ñîáñòâåííî äèíàìè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè; íàéòè âõîäíîé ñèãíàë (íàïðèìåð, ñîñòîÿíèÿ ÒÑ) ïî çàôèêñèðîâàííîìó âûõîäíîìó — âîññòàíîâëå íèå ñèãíàëà.

 îáùåì ñëó÷àå äèíàìè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü â ïåðåäà÷å ñèãíàëà õ ( t ), ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè, îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ìåæäó äåéñòâèòåëüíûì âûõîäíûì ñèãíàëîì y ( t ) â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå è âûõîäíûì ñèãíàëîì y ñò = Sx ( t ) â ñòàòè÷åñêîì ðåæèìå ïðè îòñóòñòâèè èíåðöèîííûõ ñâîéñòâ ÑÈ, ò. å.
D äèí = y ( t ) - Sx ( t ) = y ( t ) - y ñò ,

(2.29)

ãäå S — ÷óâñòâèòåëüíîñòü ÑÈ.

Äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî ïîãðåøíîñòü, îöåíèâàåìàÿ ïî ôîðìóëå (2.29), íî, íàïðèìåð, è ïîãðåøíîñòü ïðè èäåàëüíîé ïåðåäà÷å ôîðìû ñèãíàëà, ñäâèíóòîãî âî âðåìåíè ïî ôàçå íà t -ôàçîâóþ äèíàìè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü:
D äèí = y ( t + t ) - y ñò .

Äèíàìè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû òîëüêî ðàñ÷åòíî-ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì. Ýòàëîíîâ è îáðàçöîâûõ ÑÈ â îáëàñòè äèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèé íåò.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÑÈ âõîäèò â èçìåðèòåëüíóþ öåïü íàðÿäó ñ äðóãèìè çâåíüÿìè (äàò÷èêàìè, óñèëèòåëÿìè, ïðåîáðàçî âàòåëÿìè, òðàíñôîðìàòîðàìè è ò. ä.), êàæäûé èç êîòîðûõ òîæå îáëàäàåò ñâîèìè äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, â öåëîì ñëåäóåò ãîâîðèòü î íåêîòîðîì àíàëîãå èçìåðèòåëüíîé öåïè — èçìåðèòåëüíîì ïðåîáðàçîâàòåëå (ÈÏ) ñ èçâåñòíûìè (çàäàííûìè) äèíàìè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè.

Äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ÈÏ íåîáõîäèìî çàäàòü òàêèå ïàðàìåòðû, êîòîðûå ïîçâîëèëè áû äëÿ ëþáîãî âõîäíîãî ñèãíàëà x ( t ) îïðåäåëèòü âûõîäíîé y ( t ) ñèãíàë, à òàêæå ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó (âîññòàíîâëåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà, ò. å. îöåíêè òåõíè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ÒÑ) ñ ó÷åòîì äåñòàáèëèçèðóþùèõ ôàêòîðîâ (ïîìåõè, âíåøíèå âëèÿíèÿ, íåèíôîðìàòèâíûå ïàðàìåòðû è ò. ï.). Ñâÿçü ìåæäó âõîäíûì è âûõîäíûì ñèãíàëàìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç îïåðàòîð  äàííîãî ÈÏ:
y ( t ) = Âx ( t ).

(2.30)

Îïåðàòîð  îòðàæàåò õàðàêòåð îòêëèêà ÈÏ íà âõîäíîé ñèãíàë. Ìàòåìàòè÷åñêè îïåðàòîð  ìîæåò áûòü ëèíåéíûì è íåëèíåéíûì, äèôôåðåíöèðóåìûì â îáûêíîâåííûõ è ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, îïèñàí äèôôåðåíöèàëüíûìè è èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ðÿäàìè è ôóíêöèÿìè.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà âî âðåìåííîé îáëàñòè èñïîëüçóþò ïåðåõîäíóþ èëè èìïóëüñíóþ ôóíêöèè, à â ÷àñòîòíîé — ïåðåäàòî÷íóþ.

Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì, êàêèå ñèãíàëû ïîäëåæàò àíàëèçó ïðè äèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèÿõ.  îáùåì ñëó÷àå çäåñü èñïîëüçóþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûå è ñëó÷àéíûå (ñòîõàñòè÷åñêèå) ìîäåëè ñèãíàëîâ, õîòÿ ðåàëüíî îíè ñìåøàííûå.

Äåòåðìèíèðîâàííûå ìîäåëè áûâàþò ïåðèîäè÷åñêèìè è íåïåðèîäè÷åñêèìè. È òå è äðóãèå ìîãóò áûòü íåïðåðûâíûìè âî âðåìåíè èëè ïðåäñòàâëåíû â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèñêðåòíûõ èìïóëüñîâ. Èç âñåõ âîçìîæíûõ âèäîâ íåïðåðûâíûõ íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîëó÷èëè ôèíèòíûå, ò. å. îòëè÷íûå îò íóëÿ ëèøü íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè, è ìîäåëè ñ íåíóëåâûì óñòàíîâèâøèìñÿ çíà÷åíèåì. Ýòè ñèãíàëû îïèñûâàþòñÿ ëèáî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ôóðüå, ëèáî èçîáðàæåíèåì ïî Ëàïëàñó.

Íåïðåðûâíûå ïåðèîäè÷åñêèå ñèãíàëû ìîãóò áûòü âûðàæåíû ðÿäîì Ôóðüå, èçîáðàæåíèÿìè ïî Ëàïëàñó, ïîëèíîìàìè ×åáûøåâà, Ëåæàíäðà è Ëàãåððà.

Ñëó÷àéíûå ñèãíàëû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè âðåìåíè (ñëó÷àéíûé ïðîöåññ) ëèáî äèñêðåòíîé ôóíêöèåé âðåìåíè (ñëó÷àéíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñ òÿìè). Èçâåñòíî, ÷òî ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ìîãóò áûòü íåñòàöèîíàðíûìè è ñòàöèîíàðíûìè, à ïîñëåäíèå — ýðãîäè÷åñ êèìè è íåýðãîäè÷åñêèìè.  çàâèñèìîñòè îò âèäà ñëó÷àéíîãî ñèãíàëà ïîäáèðàåòñÿ è ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò. Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü îïèñàí: ñîâîêóïíîñòüþ îãðàíè÷åííûõ âî âðåìåíè ðåàëèçàöè é; ñîâîêóïíîñòüþ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ; àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé; ðàçëîæåíèåì ïî ñèñòåìå îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé.

Äëÿ ëèíåéíûõ ìîäåëåé îïåðàòîðà  èñïîëüçóþòñÿ èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà, Âîëüòåððà, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû, à äëÿ íåëèíåéíûõ — îïåðàòîðû Óðûñîíà, Õàììåðøòåéíà, Ëèõòåíøòåéíà — Ëÿïóíîâà.

2.10.2. Äèíàìè÷åñêèå èçìåðåíèÿ è ïîãðåøíîñòè äåòåðìèíèðîâàííûõ
ëèíåéíûõ èçìåðèòåëüíûõ öåïåé

Äëÿ ðàñ÷åòíî-ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê èñïîëüçóþò òèïîâûå âîçäåéñòâèÿ íà âõîä ÈÏ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûå ðåàêöèè (îòêëèêè) íà âûõîäå ÈÏ.  êà÷åñòâå òèïîâûõ âîçäåéñòâèé ìîãóò áûòü:

1. Åäèíè÷íàÿ ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ìãíîâåííûå èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû íà åäèíèöó (ðèñ. 2.14, à ):

Ðåàêöèÿ h ( t ) íà ýòîò ñèãíàë, íàçûâàåìàÿ ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêîé, âîñïðîèçâîäèò ñêà÷îê x ( t ) ëèáî ñ çàïàçäûâàíèåì t à (êðèâàÿ à ), ëèáî ñ êîëåáàíèåì (êðèâàÿ á ) è çàïàçäûâàíèåì t á .


Ðèñ. 2.14. Òèïîâûå âîçäåéñòâèÿ ïðè äèíàìè÷åñêèõ èçìåðåíèÿõ

2. Èìïóëüñíàÿ (âåñîâàÿ) ôóíêöèÿ ( d -ôóíêöèÿ Äèðàêà), ðàâíàÿ íóëþ ïðè t ¹ O è áåñêîíå÷íîñòè — ïðè t =0, íî åå ïëîùàäü ðàâíà åäèíèöå, òàê êàê (ðèñ. 2.14, á ). Ðåàêöèÿ íà èìïóëüñíîå âîçäåéñòâèå — ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà g ( t ).

3. Ëèíåéíî-èçìåðÿþùååñÿ âî âðåìåíè âîçäåéñòâèå (ðàìïîâàÿ ôóíêöèÿ)

Ðåàêöèÿ íà ýòî âîçäåéñòâèå — ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñ òèêà c ( t ) íà ðèñ. 2.14, â .

4. Ñèíóñîèäàëüíàÿ (ãàðìîíè÷åñêàÿ) ôóíêöèÿ x ( t ) = A sin w t . Ðåàêöèÿ íà ýòî âîçäåéñòâèå — ñèãíàë y ( t ) ñî ñäâèãîì ïî ôàçå íà w (ðèñ. 1.14, ã ), êîòîðûé ìîæåò áûòü è íåñèíóñîèäàëüíûì. Ïðè èçìåíåíèè óãëîâîé ÷àñòîòû w îò 0 äî ¥ ìîæíî ïîëó÷èòü àìïëèòóäíî-ôàçîâóþ ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó (ÀÔÕ) (ðèñ. 2.14, ä ), êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ñòàòè÷åñêèõ è äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ÈÏ â ÷àñòîòíîé îáëàñòè. Õàðàêòåðèñòèêè h ( t ), h ( t ) è ñ ( t ) ïîçâîëÿþò ãîâîðèòü îá ýòèõ ñâîéñòâàõ âî âðåìåííîé îáëàñòè.

 êîìïëåêñíîì âèäå ÀÔÕ

(2.31)


ãäå Ð ( w ) è j q ( w ) — äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè óðàâíåíèÿ; X ( j w ) è Y ( j w ) — ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ è ðåàêöèè îáúåêòà íà íåå; A ( w ) — àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà; j ( w ) — ôàçîâàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà (Ô×Õ).

Äðóãèìè ñëîâàìè, À×Õ è Ô×Õ ïðåäñòàâëÿåò îïåðàòîð  â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ãäå À×Õ — ìîäóëü, à Ô×Õ — àðãóìåíò.

Ïåðå÷èñëåííûå äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ëèíåéíûõ (ëèíåàðèçèðîâàííûõ) ñèãíàëîâ âçàèìîñâÿçàíû, è ïðè íàëè÷èè îäíîé èç íèõ ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå. Íàïðèìåð, À×Õ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà, åñëè èçâåñòíû ïåðåõîäíûå õàðàêòåðèñòèêè îò ñòóïåí÷àòîé èëè èìïóëüñíîé ôóíêöèè h ( t ) è g ( t ) ïî óðàâíåíèÿì:

(2.32)

Âñå ÈÏ ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íûå äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, íî áîëüøèíñòâî èç íèõ ñ íåêîòîðûìè äîïóùåíèÿìè ìîæíî îòíåñòè ê îäíîìó èç òèïîâûõ çâåíüåâ: áåçûíåðöèîííîìó (óñèëèòåëüíîìó), àïåðèîäè÷åñêîìó, êîëåáàòåëü íîìó, äèôôåðåíöèðóþùåìó è èíòåãðèðóþùåìó èëè èõ êîìáèíàöèÿì. Âñå ýòè çâåíüÿ èìåþò ðàçëè÷íûå, íî òèïîâûå äëÿ çâåíà ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè— êîìïëåêñíóþ âåëè÷èíó, ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùóþ äèíàìèêó ïåðåäà÷è èçìåðèòåëüíîé èíôîðìàöèè.

Ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû îöåíêè äèíàìè÷åñêèõ êà÷åñòâ ñèñòåìû. Îäíàêî íàèáîëåå îáùåé ôîðìîé îïèñàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ÈÏ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå õ , ó è èõ ïðîèçâîäíûå:

(2.33)

Ýòî íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàìåíèòü ëèíåéíûì, åñëè ïðè åãî ðàçëîæåíèè â ðÿä Òåéëîðà äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ÷ëåíàìè, ñîäåðæàùèìè ïðèðàùåíèå ïåðåìåííûõ â ïåðâîé ñòåïåíè

(2.34)

ãäå a i — ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿåìûå ïàðàìåòðàìè ÈÏ; b i — ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, ïîëó÷àåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíî.

 îáùåì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû a i è b i îïðåäåëÿþò êàê ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f 1 è f 2 óðàâíåíèÿ (2.33) ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ïåðåìåííûì. Äëÿ ÈÏ, êîòîðûå äàæå ïðèáëèæåííî íå ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ ëèíåéíûìè, ìîæíî ïðèìåíÿòü ëþáûå õàðàêòåðèñòèêè, óñòàíàâëèâàþùèå ñâÿçü ìåæäó ó è õ .

Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, äèíàìè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó (2.31) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â âèäå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè

(2.35)

ãäå Y ( P ) è Õ ( Ð ) — èçîáðàæåíèÿ ïî Ëàïëàñó âûõîäíîãî è âõîäíîãî ñèãíàëîâ; Ð — êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð.

 ÷àñòíîñòè, çàìåíèâ â óðàâíåíèè (2.35) ð = j w , ïîëó÷èì ÀÔÕ ïî (2.31). Î÷åíü âàæíî, ÷òî ïðè òàêîé çàìåíå ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ìîæíî íàéòè ïî ýêñïåðèìåíòàëü íûì äàííûì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.32).

Çíàìåíàòåëü ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, ïðèðàâíåííûé ê íóëþ, äàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ÈÏ

(2.36)

Ïî óðàâíåíèþ (2.33) îöåíèâàþò äèíàìè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ÈÏ, òàê êàê òîëüêî óñòîé÷èâûå ÈÏ ìîãóò áûòü ðàáîòîñïîñîáíûìè â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå. Ïî ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè W ( P ) îïðåäåëÿþò ðåàêöèþ ÈÏ íà èçìåíåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà. Íàïðèìåð, ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíîãî ñèãíàëà

Ðàçíîîáðàçíûå çâåíüÿ èçìåðèòåëüíîé öåïè ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûì îáðàçîì, ÷òî âëèÿåò íà ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ÈÏ â öåëîì.  òàáë. 2.5 ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå òèïîâûå ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè îñíîâíûõ çâåíüåâ äëÿ ðàçëè÷íûõ ñõåì ñîåäèíåíèÿ.

 ðåàëüíûõ ÒÑ èíåðöèîííîñòü ÈÏ, îïðåäåëÿþùàÿ äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû ïðè èçìåðåíèÿõ, ïðîÿâëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå òèïè÷íûå ñëó÷àè ïðè èçìåðåíèè ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí, âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ñ ïðèáëèçèòåëüíî ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, è âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ïî êîëåáàòåëüíîìó ïðèíöèïó, â ÷àñòíîñòè ïî ñèíóñîèäå.

Ðèñ. 2.15. Ðåàêöèÿ ÈÏ íà ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå âåëè÷èíû
Òàáëèöà 2.5
Ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè òèïîâûõ çâåíüåâ

Ïðèìå÷àíèå. Ê — êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ; Ò — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè; x — êîýôôèöèåíò óñïîêîåíèÿ (äåìïôèðîâàíèÿ); çíàê "+" ïðè ïîëîæèòåëüíîé, à "-" ïðè îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè; W ç ( P ) è W p ( P ) — ñîîòâåòñòâåííî ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè çàìêíóòîé è ðàçîìêíóòîé ñèñòåì.

Ïðè èçìåðåíèè ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí èíåðöèîííîñòü ÈÏ ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë íå ìãíîâåííî ñëåäóåò çà èçìåðÿåìîé âåëè÷èíîé, à ïîñòåïåííî ïðèáëèæàåòñÿ ê ñâîåìó íîâîìó óñòàíàâëèâàþùåìóñÿ çíà÷åíèþ. Íàïðèìåð, ïðè àâòîìàòè÷åñêîì êîíòðîëå ðàçìåðà äåòàëè èçìåðèòåëüíûé ñòåðæåíü èç ïîëîæåíèÿ x 0 (ðèñ. 2.15, à ) ìãíîâåííî ïåðåìåùàåòñÿ â ïîëîæåíèå x 1 . Ïðè ýòîì âûõîäíàÿ âåëè÷èíà ÑÈ èçìåíÿåòñÿ îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ó î äî çíà÷åíèÿ y 1 (ðèñ. 2.15, á ) â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì
y 1 = y 0 + S 0 ( x 1 - x 0 ),

(2.37)

ãäå S 0 — ñòàòè÷åñêàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ÑÈ.

Èç ðèñ. 2.15, á âèäíî, ÷òî ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ñ ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé (2.37).

 îáùåì ñëó÷àå ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
y 1 = y 0 + S 0 ( x 1 - x 0 )

(2.38)

ãäå Ò — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè.

Ïîñòîÿííóþ âðåìåíè ëåãêî íàéòè ïî ãðàôèêó ïåðåõîäíîé ôóíêöèè, ïðîâåäÿ êàñàòåëüíóþ ê êðèâîé (ñì. ðèñ. 2.15, á ), ÷òî ñîñòàâëÿåò 0,63 îò âðåìåíè ïîëíîãî ïðèðàùåíèÿ äî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ.

 ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ êðèâàÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èìååò áîëåå ñëîæíûé êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð èç-çà âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ïîìåõ (øóìîâ). Ïîýòîìó ðàáî÷èé ïðîöåññ èçìåðåíèÿ íà÷èíàþò ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå óñòàíîâêè äåòàëè íà ïîçèöèþ èçìåðåíèÿ. Âðåìÿ óñïîêîåíèÿ t y îáû÷íî ñîñòàâëÿåò (3...4) T . Ïðè óìåíüøåíèè t y , íàïðèìåð, äî 2T èç-çà íåñòàáèëüíîñòè ± D t âðåìåíè óñïîêîåíèÿ (ðèñ. 2.15, â ) ìîæåò âîçíèêíóòü äîïîëíèòåëüíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ± D y .

Ðèñ. 2.16. Ôîðìèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè

Ïðè èçìåðåíèè âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u (íàïðèìåð, èçìåðåíèå òîêà àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðåè â ðåæèìå åå ðàçðÿäà), âûõîäíàÿ âåëè÷èíà ó áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî êðèâîé 2 (ðèñ. 2.16), àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþùåéñÿ ê ïðÿìîé (ïóíêòèð), ïàðàëëåëüíî èäåàëüíîé êðèâîé 1 èçìåíåíèÿ âåëè÷èí è ñìåùåííîé îòíîñèòåëüíî íåå âäîëü îñè âðåìåíè íà ïîñòîÿííóþ âðåìåíè Ò . Òîãäà âîçíèêàåò ñèñòåìàòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü D cg = - u T . Ïðè ñëó÷àéíîì êîëåáàíèè ñêîðîñòè D u äîïîëíèòåëü íî ïîÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè [13].

Ïðè èçìåðåíèè âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ïðèáëèçèòåëüíî ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó (íàïðèìåð, ïðè êîíòðîëå áèåíèé, îâàëüíîñòåé è ò. ï.), âõîäíàÿ âåëè÷èíà èçìåíÿåòñÿ êàê
x ( t ) = X sin w t,

ãäå Õ è w — ñîîòâåòñòâåííî àìïëèòóäà è óãëîâàÿ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.

Ñîîòâåòñòâåííî èçìåíåíèå âûõîäíîé âåëè÷èíû ó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
y ( t ) = S 0 X sin w t.

Èíåðöèîííîñòü ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè èçìåíåíèè óãëîâîé ñêîðîñòè w ÷óâñòâèòåëüíîñòü èçìåíÿåòñÿ, à êîëåáàíèå âûõîäíîé âåëè÷èíû ñìåùàåòñÿ ïî ôàçå îòíîñèòåëüíî x ( t ) (ðèñ. 2.17),
ò. å. ÷óâñòâèòåëüíîñòü S è ñäâèã ïî ôàçå j îêàçûâàþòñÿ çàâèñèìûìè îò ÷àñòîòû w êîëåáàíèÿ íà âûõîäå ñîñòàâÿò
y ( t ) = S ( w ) X sin [ w t + j ( w )],

(2.39)

ãäå Y ( w ) = S ( w ) X — àìïëèòóäà ñèãíàëà íà âûõîäå.

Ðèñ. 2.17. Ñèíóñîèäàëüíîå èçìåíåíèå èçìåðÿåìîãî ïàðàìåòðà

Òîãäà À×Õ ñèñòåìû áóäåò ðàâíà îòíîøåíèþ

(2.40)

À×Õ [ A ( w )] è Ô×Õ [ j ( w )] ïî÷òè íå çàâèñÿò îò àìïëèòóäû èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè èíåðöèîííîñòè.

Ñèñòåìàòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.29) îòíîñèòåëüíî àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé

(2.41)

Ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè îáóñëîâëåíà êîëåáàíèÿìè Dw ÷àñòîòû

(2.42)

Åñëè, íàïðèìåð, äëÿ çâåíà À×Õ èìååò âèä , òî

 îáùåì ñëó÷àå äëÿ ðàñ÷åòà äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè ïî óðàâíåíèþ (2.29) âûõîäíîé ñèãíàë ïðåäñòàâèì â âèäå èíòåãðàëà ñâåðòêè

ãäå g ( t ) — èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà

(2.43)

Ïðåäñòàâèì x ( t ) ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè r è çàïèøåì x ( t - t ) â âèäå

(2.44)

Ïîäñòàâèì ôîðìóëó (2.44) â (2.43) è ïîëó÷èì

Îáîçíà÷èì

òîãäà

(2.45)

Êîýôôèöèåíòû Ñ 0 , C 1 , ..., Ñ r íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè îøèáîê. Èõ ìîæíî âû÷èñëèòü ÷åðåç ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ W ( P ). Äëÿ ýòîãî, ñ÷èòàÿ â óðàâíåíèÿõ (2.32) Ð= j w =0 , W (0) ïîëó÷àåì C 0 =W(0)-1.

Äèôôåðåíöèðóÿ (2.32) ïî Ð è ñ÷èòàÿ Ð=0, íàõîäèì

Ïåðåõîäÿ ê èçîáðàæåíèÿì, ïîëó÷èì

D g ( P )= Y ( P )- X ( P )= X ( P )[ W ( P )-1],

ãäå W ( P 1 åñòü ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ÈÏ ïî ïîãðåøíîñòè.

Ïðèìåð 2.10. Äëÿ òåðìîïðèåìíèêà (òåðìîïàðû, òåðìîìåòðà ñîïðîòèâëåíèÿ è ò. ï.), èìåþùåãî ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ W(P) = , íàéòè ïîãðåøíîñòü D g ( t ) ïðè x(t) =const, ëèíåéíîì è ïàðàáîëè÷åñêîì âõîäíîì ñèãíàëå.

Ð å ø å í è å. Ñíà÷àëà íàõîäèì

2.18. Ðåàëèçàöèÿ ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñèãíàëîâ

Òîãäà ïðè x(t)=a=const; D g (t) 1 =C a a=0.

Ïðè ëèíåéíîì âõîäíîì ñèãíàëå x(t)=bt+a, D g (t) 2 =C 0 ( bt+a ) +C 1 b=- t b.

Ïðè ïàðàáîëè÷åñêîì x(t)=a+bt+lt 2 . Çíà÷èò

D g (t) 3 0 ( a+bt+lt 2 ) +C 1 ( b+ 2 lt ) +C 2 l= - t ( b+ 2 bt ) + t ( t -1 ) l=-2 t lt- t =- t (2 lt+b+l)+ t 2 l.

Ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôèêè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.18.

2.10.3. Äèíàìè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ

Îáû÷íî íà âõîä ÈÏ ïîäàåòñÿ ïîëåçíûé ñèãíàë ñ ïîìåõàìè (øóìîì). Òàêîé ñèãíàë ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé âðåìåíè. Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ è ê ñèãíàëó íà âûõîäå ÈÏ, à äèíàìè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóììó äåòåðìèíèðîâàííîé ñîñòàâëÿþùåé, ðàññìîòðåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, è ñëó÷àéíîé äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè, îáóñëîâëåííîé øóìîì. Ïîýòîìó ðàñ÷åò òàêîé ñëó÷àéíîé äèíàìè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè åå ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê íà âûõîäå ïî èçâåñòíûì ñòàòèñòè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì âõîäíîãî ñèãíàëà ïîìåõ (øóìîâîãî ñèãíàëà). Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ àïïàðàò ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

Õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ââîäÿòñÿ âìåñòî çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîèñê êîòîðûõ äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññî⠗ çàäà÷à âåñüìà òðóäîåìêàÿ è ñîïðÿæåííàÿ ñ áîëüøèìè íåòî÷íîñòÿìè.

 êà÷åñòâå îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ïðèíèìàþò:

- ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå m ( t )= M [ x ( t )];

- äèñïåðñèþ D x ( t )= s 2 x (t)= M [ x ( t )- mx ( t )];

-êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ãäå

- öåíòðèðîâàííûå âåëè÷èíû.

Ïðè Åñëè t 2 = t 1 + t , òî K x ( t 1 , t 1 + t )= K x ( t ).

Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ — ýòî ìåðà ñâÿçè ìåæäó çíà÷åíèÿìè ýòîé ôóíêöèè â ìîìåíòû âðåìåíè t 1 è t 1 + t .

Ôóíêöèÿ êîððåëÿöèè ìåæäó çíà÷åíèÿìè îäíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â äâà ðàçíûõ ìîìåíòà âðåìåíè ( t , t ') íàçûâàåòñÿ àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé .

Âìåñòî ðàçìåðíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìîæíî ââåñòè áåç­ðàçìåðíóþ íîðìèðîâàííóþ àâòîêîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ, ìîäóëü êîòîðîé íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû

(2.46)

Íîðìèðîâàííóþ ê äèñïåðñèè àâòîêîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ R ( t ) =K x ( t ) / s x 2 íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè . Íîðìèðî­âàííàÿ àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé èãðàåò òó æå ðîëü, ÷òî ÑÊÎ è äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ïðè àíàëèçå ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè­÷èí — õàðàêòåðèçóåò ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà.

Åñëè êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ â ìîìåíòû t è t', òî îíà àïïðîêñèìèðóåòñÿ êàê

(2.47)

ãäå t = t — t'; a — ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé ïëîòíîñòü ïîòîêà èìïóëüñîâ (ò. å. ñðåäíåå èõ êîëè÷åñòâî), äåéñòâóþùèõ â åäèíèöó âðåìåíè. Åñëè èíòåðâàë êîððåëÿöèè t 0 , òî .

Äëÿ îöåíêè a ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïðèåì. Êàê ïðàâèëî, äî ýêñïåðèìåíòà â ñëó÷àéíîì ïðîöåññå ìîãóò áûòü âûäåëåíû áûñòðî- è ìåäëåííîïåðåìåííûå ñîñòàâëÿþùèå ñî ñâîèìè äèñïåðñèÿìè D á è D ì , òîãäà

D x = D á - D ì.

(2.47)

Ýòî äåëåíèå îñóùåñòâëÿþò ïî ñïåêòðàëüíîìó ïðèçíàêó ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû w ã . Îáû÷íî w ã =0,05 Ãö è ñîáëþäàåòñÿ óñëîâèå 0,1 D ì / D á 10. Òîãäà a = w ã D á / t ä p D ì .

Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé î ñâîéñòâàõ âõîäíîãî ñèãíàëà èçâåñòíî íåìíîãî.  ïðåäåëàõ êîððåëÿöèîííîé òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðåäïîëàãàþò, ÷òî âõîäíîé ñèãíàë ñòàöèîíàðåí ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ïîñêîëüêó øóìîâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ åãî êîëåáëåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì îêîëî íóëåâîé ëèíèè.

Äëÿ îöåíêè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè øóìà ïî ÷àñòîòå èñïîëüçóåòñÿ áîëåå íàãëÿäíàÿ, ÷åì Ê õ ( t ) , õàðàêòåðèñòèêà — ñïåêòðàëü­íàÿ ïëîòíîñòü S ( w ). Ïðè ñïåêòðàëüíîì ðàçëîæåíèè ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè x ( t ) íà êîíå÷íîì âðåìåíè (0, t ) ñïðàâåäëèâà âçàèìîñâÿçü (ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå):

Ïðè ýòîì âçàèìîñâÿçü ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé âõîäà è âû­õîäà ÑÈ ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé W ( j w ) âûðàæàåòñÿ êàê

Òîãäà äèñïåðñèÿ øóìà íà âûõîäå, õàðàêòåðèçóþùàÿ äèíàìè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü ÑÈ:

Ïðèìåð 2.11. Íà âõîä ÑÈ ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé W ( j w )= ïîñòóïàåò ïîìåõà ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ Íàéòè äèíàìè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü â âèäå ÑÊÎ.

Ð å ø å í è å. Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü íà âõîäå ÑÈ ñîñòàâèò

.

Òîãäà

èëè

.