2.9. Ìåòîäû îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé

2.9.1. Ìíîãîêðàòíûå ïðÿìûå ðàâíîòî÷íûå èçìåðåíèÿ

2.9.2. Íåðàâíîòî÷íûå èçìåðåíèÿ

2.9.3. Îäíîêðàòíûå èçìåðåíèÿ

2.9.4. Êîñâåííûå èçìåðåíèÿ

2.9.5. Ñîâìåñòíûå è ñîâîêóïíûå èçìåðåíèÿ

2.9.1. Ìíîãîêðàòíûå ïðÿìûå ðàâíîòî÷íûå èçìåðåíèÿ

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå ýòàïû:

·èñïðàâëÿþò ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé èñêëþ÷åíèåì (åñëè ýòî âîçìîæíî) ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè;

·âû÷èñëÿþò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïî ôîðìóëå (2.1);

·âû÷èñëÿþò âûáîðî÷íîå ÑÊÎ îò çíà÷åíèÿ ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé ïî ôîðìóëå (2.2);

·èñêëþ÷àþò ïðîìàõè;

·îïðåäåëÿþò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé;

·ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè Ð è ÷èñëå èçìåðåíèé ï ïî òàáëèöàì îïðåäåëÿþò êîýôôèöèåíò Ñòüþäåíòà t p ;

·íàõîäÿò ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè ;

·åñëè âåëè÷èíà ñðàâíèìà ñ àáñîëþòíûì çíà÷åíèåì ïîãðåøíîñòè ÑÈ, òî âåëè÷èíó D ñè ñ÷èòàþò íåèñêëþ÷åííîé ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé è â êà÷åñòâå äîâåðèòåëü íîãî èíòåðâàëà âû÷èñëÿþò âåëè÷èíó

Åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ÷åòêî âûäåëèòü ñîñòàâëÿþùèå q ÍÑÏ, òî D S îïðåäåëÿåòñÿ ïî ÃÎÑÒ 8.207­76

èëè, ïî óïðîùåííîé ôîðìóëå: (ïî äàííûì [42], ïîãðåøíîñòü òàêîé çàìåíû íå ïðåâûøàåò 5,...,10%);

·îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò çàïèñûâàþò â âèäå = õ ± D S ïðè âåðîÿòíîñòè Ð .

2.9.2. Íåðàâíîòî÷íûå èçìåðåíèÿ

Ïðè ïëàíèðîâàíèè èçìåðèòåëüíûõ îïåðàöèé è îáðàáîòêå èõ ðåçóëüòàòîâ çà÷àñòóþ ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ íåðàâíîòî÷íûìè èçìåðåíèÿìè (ò. å. èçìåðåíèÿìè îäíîé è òîé æå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, âûïîëíåííûìè ñ ðàçëè÷íîé òî÷íîñòüþ, ðàçíûìè ïðèáîðàìè, â ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ, ðàçëè÷íûìè èññëåäîâàòåëÿìè è ò. ä.).

Äëÿ îöåíêè íàèáîëåå âåðîÿòíîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû ïî äàííûì íåðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé ââîäÿò ïîíÿòèå "âåñà" èçìåðåíèÿ:

g i = n i /,

ãäå n i è — îáúåì è äèñïåðñèÿ i -é ñåðèè ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé.

Òîãäà, åñëè íåðàâíîòî÷íûå èçìåðåíèÿ ïðèâåëè ê ðåçóëüòàòàì ( — ñðåäíåàðèôìåòè÷åñêîå ðÿäà ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé; j £ ò ), òî íàèáîëåå âåðîÿòíûì çíà÷åíèåì âåëè÷èíû áóäåò åå ñðåäíåâçâåøåííîå çíà÷åíèå:

Âåðîÿòíîñòü a òîãî, ÷òî ëåæèò â ïðåäåëàõ ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé (), îïðåäåëÿåòñÿ âûøåïðèâåäåí íûì ìåòîäîì äëÿ ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé.

2.9.3. Îäíîêðàòíûå èçìåðåíèÿ

Ïðÿìûå ñòàòèñòè÷åñêèå èçìåðåíèÿ â áîëüøåé ìåðå îòíîñÿòñÿ ê ëàáîðàòîðíûì (èññëåäîâàòåëüñêèì), íàïðèìåð ïðè ðàçðàáîòêå è àòòåñòàöèè ìåòîäèêè, êîãäà ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé âûÿâëÿåòñÿ â ïðîöåññå ïðîâåäåíèÿ è îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.

Äëÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ ïðîöåññîâ áîëåå õàðàêòåðíû îäíîêðàòíûå òåõíè÷åñêèå ïðÿìûå èëè êîñâåííûå èçìåðåíèÿ. Çäåñü ïðîöåäóðà èçìåðåíèé ðåãëàìåíòèðóåòñÿ çàðàíåå, ñ òåì ÷òîáû ïðè èçâåñòíîé òî÷íîñòè ÑÈ è óñëîâèÿõ èçìåðåíèÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâçîøëà îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå, ò. å. çíà÷åíèÿ D è Ð çàäàíû àïðèîðè. Ïîñêîëüêó èçìåðåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ áåç ïîâòîðíûõ íàáëþäåíèé, òî íåëüçÿ îòäåëèòü ñëó÷àéíóþ îò ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé. Ïîýòîìó äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè äàþò ëèøü åå ãðàíèöû ñ ó÷åòîì âîçìîæíûõ âëèÿþùèõ âåëè÷èí. Ïîñëåäíèå ëèøü îöåíèâàþò ñâîèìè ãðàíèöàìè, íî íå èçìåðÿþò. Íà ïðàêòèêå äîïîëíèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè, êàê ïðàâèëî, íå ó÷èòûâàþòñÿ, òàê êàê èçìåðåíèÿ îñóùåñòâëÿþò â îñíîâíîì â íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ, à ñóáúåêòèâíûå ïîãðåøíîñòè òàêæå âåñüìà ìàëû.

 ïðèíöèïå, îäíîêðàòíûå èçìåðåíèÿ äîñòàòî÷íû, åñëè íåèñêëþ÷åííàÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü (íàïðèìåð, êëàññ òî÷íîñòè ÑÈ) çàâåäîìî áîëüøå ñëó÷àéíîé. Ïðàêòè÷åñêè ýòî äîñòèãàåòñÿ ïðè =(0,50,...,0,25) D ñ . Òîãäà ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ çàïèñûâàþò â âèäå

x = x ñ ± D S ïðè âåðîÿòíîñòè Ð = 0,95,

ãäå õ ñè — ðåçóëüòàò, çàôèêñèðîâàííûé ÑÈ; — ñóììàðíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ êëàññîì òî÷íîñòè ÑÈ ( D ñè ) è ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ ( D ìåò ).
Äëÿ óòî÷íåííîé îöåíêè âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ îäíîêðàòíûõ èçìåðåíèé ñëåäóåò ñîïîñòàâèòü ñóììàðíûå ïîãðåøíîñòè, ïîëó÷àåìûå ïðè ýòîì, ñ ñóììàðíûìè ïîãðåøíîñòÿìè ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèé ïðè íàëè÷èè ñëó÷àéíîé è íåèñêëþ÷åííîé ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùèõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî è ïðè ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèÿõ ñóììàðíîå ÑÊÎ ðåçóëüòàòà

à ïðè îäíîêðàòíûõ

Èçìåíåíèå îòíîøåíèÿ

Ðèñ. 2.12. Âçàèìîñâÿçü g ( n ) c q / s x è ï

â çàâèñèìîñòè îò q / s x è ÷èñëà èçìåðåíèé ïðèâåäåíî íà ðèñ. 2.12, èç ãðàôèêîâ êîòîðîãî ñëåäóåò:

·ïðè q / s x ³ 8 îòíîøåíèå g @ const è ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò n , ò. å. â ýòèõ óñëîâèÿõ íåò ñìûñëà â ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèÿõ, ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïðåíåáðåæèòåëüíî ìàëà è îïðåäåëÿþùåé ÿâëÿåòñÿ íåèñêëþ÷åííàÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ;

·ïðè q / s x £ 0,8 ôóíêöèÿ g ( n ) ÿâíî çàâèñèò îò ï , ò. å. çäåñü ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, íåèñêëþ÷åííàÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïðåíåáðåæèòåëüíî ìàëà è îäíîêðàòíûå èçìåðåíèÿ íåäîïóñòèìû;

·ïðè 0,8 £ q / s x £ 8 äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ è ñëó÷àéíàÿ, è íåèñêëþ÷åííàÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùèå.

 ïîñëåäíåì ñëó÷àå êîìïîçèöèþ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ è ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ íàõîäÿò ïî ýìïèðè÷åñêîé ôîðìóëå
,

(2.14)

ãäå — êîýôôèöèåíò, ñîîòâåòñòâóþùèé q -ìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè äàííîé êîìïîçèöèè; — ÑÊÎ êîìïîçèöèè; q ( P ) è ( Ð ) — ñîîòâåòñòâåííî íåèñêëþ÷åí íàÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ è äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè ïðè çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè Ð .

Âû÷èñëåíèå ïîãðåøíîñòè D ( Ð ) ïî ôîðìóëå (2.14) äàåò ïîãðåøíîñòü íå áîëåå 12%, íî äîñòàòî÷íî ñëîæíûì ñïîñîáîì. Ïîýòîìó ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ óïðîùåííîé ôîðìóëîé
.

(2.15)

Êîýôôèöèåíò Ê P íàõîäÿò â çàâèñèìîñòè îò äîâåðèòåëü íîé âåðîÿòíîñòè Ð , ïðèíèìàåìîé íà óðîâíå 0,95 èëè 0,99, ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ïðàêòè÷åñêè, åñëè îäíà èç ñîñòàâëÿþùèõ D c èëè ìåíåå 5% îáùåé ïîãðåøíîñòè, òî ýòîé ñîñòàâëÿþùåé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.

Àëãîðèòì äåéñòâèé, íàïðèìåð, ïðè ðàçðàáîòêå è àòòåñòàöèè ìåòîäèê âûïîëíåíèÿ èçìåðåíèé ñ îäíîêðàòíûìè èçìåðåíèÿìè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:

1. Ïðåäâàðèòåëüíî óñòàíàâëèâàþò íåîáõîäèìóþ äîïóñêàåìóþ ïîãðåøíîñòü D g èçìåðåíèÿ.

2. Äëÿ ñàìîé íåáëàãîïðèÿòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ — íîðìàëüíîé â ñîîòâåòñòâèè ñ ÃÎÑÒ 8.207­76 íàõîäÿò D c , =2 s x è ïðèíèìàþò Ð = 0,95.

3. Íàõîäÿò çíà÷åíèå ïîãðåøíîñòè D =0,85(+ D ñ ) è ñðàâíèâàþò åãî ñ D g . Åñëè
D £ 0,8 D g ,

(2.16)

òî îäíîêðàòíûå íàáëþäåíèÿ âîçìîæíû ñ ïîãðåøíîñòüþ äî 20%. Åñëè 0,8 D g < D <[ D ], òî ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ñëåäóåò óòî÷íèòü ñ ó÷åòîì D ñ è s õ . Ïðè D ñ / s õ £ 0,43 èëè D ñ / s õ 7 çíà÷åíèå ïîãðåøíîñòè D îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå D = 0,9(+ D ñ ). Åñëè
D £ 0,89 D g ,

(2.17)

òî îäíîêðàòíûå èçìåðåíèÿ âîçìîæíû ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 11%.

 ñëó÷àå 0,43<<7 âû÷èñëÿþò D =0,75(+ D ñ ), è åñëè
D £ 0,93 D g ,

(2.18)

òî îäíîêðàòíûå èçìåðåíèÿ âîçìîæíû ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 7%.

Åñëè ñîîòíîøåíèÿ (2.17) è (2.18) íå ñîáëþäàþòñÿ, òî îïðåäåëÿþò "âåñîìîñòü " ñîñòàâëÿþùèõ ïîãðåøíîñòè. Ïðè ïðåâàëèðóþùåé ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé > D ñ íåîáõîäèìî ïåðåéòè ê ìíîãîêðàòíûì èçìåðåíèÿì. Ïðè < D ñ íóæíî óìåíüøèòü ìåòîäè÷åñêóþ èëè èíñòðóìåíòàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå (íàïðèìåð, âûáîðîì áîëåå òî÷íîãî ÑÈ).

Ïðàêòè÷åñêè ïðè îäíîêðàòíûõ èçìåðåíèÿõ, ÷òîáû èçáåæàòü ïðîìàõîâ, äåëàþò 2—3 èçìåðåíèÿ è çà ðåçóëüòàò ïðèíèìàþò ñðåäíåå çíà÷åíèå. Ïðåäåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îäíîêðàòíûõ èçìåðåíèé â îñíîâíîì îïðåäåëÿåòñÿ êëàññîì òî÷íîñòè D ñè ÑÈ. Ïðè ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íå ïðåâîñõîäèò D ñ £0,3 D ñè , à ñëó÷àéíàÿ D ñ £0,4 D ñè , ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ, ÷òî D èçì =±( D ñ +), ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà îäíîêðàòíîãî èçìåðåíèÿ ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîé D èçì = 0,7 D ñè .

Ïîñêîëüêó D èçì £ 3 s x ( s x — ÑÊÎ ïàðàìåòðà), òî ðåàëüíî ïîãðåøíîñòü îäíîêðàòíîãî èçìåðåíèÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,90—0,95 íå ïðåâçîéäåò (2—2,5) s x .

Ïðèìåð 2.7. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà îäíîêðàòíîãî èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ U = 0,9  íà âõîäíîì ñîïðîòèâëåíèè R =4 Îì, âûïîëíåííîãî âîëüòìåòðîì êëàññà òî÷íîñòè 0,5 ñ âåðõíèì ïðåäåëîì äèàïàçîíà èçìåðåíèé U =1,5  è èìåþùèì ñîïðîòèâëåíèå R v =1000 Îì. Èçâåñòíî, ÷òî äîïîëíèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ïîêàçàíèé ÑÈ èç-çà âëèÿíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è òåìïåðàòóðû íå ïðåâûøàþò ñîîòâåòñòâåííî d èï =±0,75% è d Ò =±0,3% äîïóñêàåìîé ïðåäåëüíîé ïîãðåøíîñòè.

Ð å ø å í è å. 1. Ïðåäåë äîïóñêàåìîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè âîëüòìåòðà íà îòìåòêå 0,9 Â ñîñòàâëÿåò

2. Ïðè ïîäñîåäèíåíèè âîëüòìåòðà èñõîäíîå íàïðÿæåíèå U x (ðèñ. 2.13) èçìåíèòñÿ èç-çà íàëè÷èÿ R v è ñîñòàâèò

Òîãäà ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü, îáóñëîâëåííàÿ êîíå÷íûì çíà÷åíèåì R v , â îòíîñèòåëüíîé ôîðìå ñîñòàâèò

Ðèñ. 2.13. Ñõåìà èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ

3. Äàííàÿ ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ïîãðåøíîñòüþ èçìåðåíèÿ è äîëæíà áûòü âíåñåíà â ðåçóëüòàò â âèäå ïîïðàâêè q =- d ì =0,4% èëè â àáñîëþòíîé ôîðìå íà îòìåòêå 0,9 Â

Â.

Òîãäà ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ñ ó÷åòîì ïîïðàâêè áóäåò ðàâåí

=0,900 + 0,004 =0,904 Â.

4. Ïîñêîëüêó îñíîâíàÿ è äîïîëíèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè çàäàíû ñâîèìè ãðàíè÷íûìè çíà÷åíèÿìè, òî îíè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåèñêëþ÷åííûå ñèñòåìàòè÷åñêèå. Ïî ôîðìóëå (2.10) ïðè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè Ð =0,95 äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà íåèñêëþ÷åííîé ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé áóäåò

,

à â àáñîëþòíîé ôîðìå

Â.

5. Ââèäó òîãî ÷òî D > q , îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

2.9.4. Êîñâåííûå èçìåðåíèÿ

Êîñâåííûå èçìåðåíèÿ ïðåäïîëàãàþò íàëè÷èå ôóíêöèîíàëüíîé ñâÿçè
Y = f ( x 1 , x 2 , ... , x n ),

(2.19)

ãäå x 1 , x 2 , ... , x n — ïîäëåæàùèå ïðÿìûì èçìåðåíèÿì àðãóìåíòû ôóíêöèè Y .

Î÷åâèäíî, ïîãðåøíîñòü â îöåíêå Y çàâèñèò îò ïîãðåøíîñòåé ïðè èçìåðåíèÿõ àðãóìåíòîâ. Ïðè ýòîì ìîãóò èìåòü ìåñòî äâà ñëó÷àÿ: àðãóìåíòû âçàèìîíåçàâèñèìû è âçàèìîçàâèñèìû.

Äëÿ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü

îòíîñèòåëüíàÿ

è ÑÊÎ ôóíêöèè

ãäå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå f / dx 1 , f / dx 2 ... âû÷èñëÿþòñÿ ïðè õ 1 = 2 , õ 1 = 1 ..., à âåëè÷èíû D x 1 , D x 2 , ... îïðåäåëÿþò, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ Ñòüþäåíòà äëÿ îäíîãî è òîãî æå çíà÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè.

Ïðè ââîäå b i = Y / dx i — àáñîëþòíîãî êîýôôèöèåíòà âëèÿíèÿ àðãóìåíòà õ â ôóíêöèþ Y åå àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ñîñòàâèò

(2.20)

Òîãäà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê

(2.21)

ãäå B i = îòíîñèòåëüíûé êîýôôèöèåíò âëèÿíèÿ.

Åñëè â êà÷åñòâå ìåðû òî÷íîñòè èçìåðåíèé âûñòóïàåò ÑÊÎ, òî

(2.22)

Åñëè àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè âèäà (2.19) íå óñòàíîâëåíû, òî ïðè ðàçðàáîòêå ìåòîäèêè âûïîëíåíèÿ èçìåðåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïûòíûå çíà÷åíèÿ .

(2.23)

ãäå D Y — èçìåíåíèå ôóíêöèè, âûçâàííîå èçìåíåíèåì D xi i -ãî àðãóìåíòà; è — ñðåäíèå (ðàñ÷åòíûå èëè íîìèíàëüíûå) çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è àðãóìåíòà. Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò çàïèñûâàþò â âèäå Y = ± D Y ïðè âåðîÿòíîñòè Ð .

 êà÷åñòâå ïðàêòè÷åñêèõ ðåêîìåíäàöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ;

·åñëè êîýôôèöèåíòû âëèÿíèÿ ìåíåå 0,001 (0,1%), òî ýòè ïàðàìåòðû ìîæíî íå ó÷èòûâàòü;

·äëÿ êîýôôèöèåíòîâ âëèÿíèÿ â ïðåäåëàõ 0,001...0,050 (0,1... 5%) òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè èõ èçìåðåíèÿ íåâåëèêè (2...5%);

·åñëè êîýôôèöèåíòû âëèÿíèÿ áîëüøå 0,05 (5%), òî òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè èíôîðìàöèè ïîâûøàþòñÿ äî 1% è âûøå.

 ñëó÷àå âçàèìíîé çàâèñèìîñòè àðãóìåíòîâ íàõîäÿò ïàðíûå êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè

(2.24)

Çíà÷åíèÿ r ëåæàò â ïðåäåëàõ -1< r <+1. Ïðè r =0 — âåëè÷èíû âçàèìîíåçàâèñèìû. Îäíàêî åñëè r =0, ñëåäóåò ïðîâåðèòü çíà÷èìîñòü ýòîé âåëè÷èíû. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþò t — êðèòåðèé

(2.25)

Åñëè ðàñ÷åòíîå ïî ôîðìóëå (2.25) çíà÷åíèå Ç t £r , òî âçàèìîñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü. Ïðàêòè÷åñêè, åñëè r < 0,20,...,0,25, òî êîððåëÿöèîííóþ ñâÿçü ñ÷èòàþò íåñóùåñòâåííîé.

Ïðè íàëè÷èè âçàèìîñâÿçåé ìåæäó x i è õ j ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé (2.20)—(2.23)

(2.26)

äå i =1, 2, ..., i , ..., k , ..., n .

Ïðè ÷èñëå âçàèìîçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ áîëüøå äâóõ òåñíîòó ñâÿçè îöåíèâàþò ÷àñòíûì èëè ìíîæåñòâåííûì êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè, â îñíîâå âû÷èñëåíèÿ êîòîðîãî ëåæàò çíà÷åíèÿ ïàðíûõ êîýôôèöèåíòîâ êîððåëÿöèè. Íàïðèìåð, äëÿ òðåõ àðãóìåíòîâ õ, ó è z

Êîýôôèöèåíò R âñåãäà ïîëîæèòåëåí è çàêëþ÷åí ìåæäó 0 è 1. Åñëè, íàïðèìåð, âåëè÷èíà z íàõîäèòñÿ â çàâèñèìîñòè îò õ è ó êàê z = àõ+bó+ñ , òî âëèÿíèå âåëè÷èíû õ íà èçìåíåíèå z îöåíèâàþò ÷àñòíûì êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ð õ (z,ó) . ×àñòíûå êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé êîððåëÿöèè.

Àëãîðèòì îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ êîñâåííûõ èçìåðåíèé âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå ýòàïû:

1. Äëÿ ðåçóëüòàòîâ ïðÿìûõ èçìåðåíèé àðãóìåíòîâ õ âû÷èñëÿþò âûáîðî÷íûå ñðåäíèå è âûáîðî÷íûå ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ

2. Äëÿ êàæäîãî àðãóìåíòà âû÷èñëÿþò ñóììàðíûå ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè â âèäå ÑÊÎ:

ãäå s ñóá , s îêð õàðàêòåðèçóþò ðàçáðîñ ðåçóëüòàòîâ èç-çà ñóáúåêòèâíûõ ïðè÷èí, îêðóãëåíèÿ è ò.ï.

3. Íàõîäÿò âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ôóíêöèè ïî m àðãóìåíòàì ñ ó÷åòîì êîýôôèöèåíòîâ âëèÿíèÿ

4. Âû÷èñëÿþò ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíûõ è ñèñòåìàòè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ ôóíêöèè

5. Ñðàâíèâàþò è :

à) åñëè << , òî ðåçóëüòàò çàïèñûâàþò â âèäå Y = Y + D ñ ïðè âåðîÿòíîñòè Ð . Çäåñü, çàäàâøèñü âåðîÿòíîñòüþ Ð , ïîëóèíòåðâàë D ñ íàõîäÿò ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ ×åáûøåâà ïî ôîðìóëå (2.13) D c = g P ;

á) åñëè >> , òî ðåçóëüòàò çàïèñûâàþò êàê Y = , ïðè Ð= a è ;

â) åñëè è ñðàâíèìû, òî ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿþò â âèäå Y =; ; .

Äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ðåçóëüòàòîâ êîñâåííûõ èçìåðåíèé ìîæíî îöåíèòü è ïî ôîðìóëàì, àíàëîãè÷íûì (2.14) è (2.15), ïðåäâàðèòåëüíî îöåíèâ íåèñêëþ÷åííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè êîñâåííîãî èçìåðåíèÿ êàê ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, òàê è â öåëîì ôóíêöèè.

Ïðåäñòàâëåíèå îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ñëîæíîé ôóíêöèè (2.19) â âèäå

äàåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëèòü ïîãðåøíîñòü ôóíêöèè ïî èçâåñòíûì ïîãðåøíîñòÿì àðãóìåíòîâ (ïðÿìàÿ çàäà÷à); îöåíèòü äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè àðãóìåíòîâ, ïðè êîòîðûõ îáùàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûñèò çàäàííîé âåëè÷èíû (îáðàòíàÿ çàäà÷à); îïòèìèçèðîâàòü óñëîâèÿ èçìåðåíèé, îáîñíîâàííî ìèíèìèçèðóÿ ñóììàðíóþ ïîãðåøíîñòü, çàðàíåå óñòàíîâèâ òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ àïïàðàòóðó.

Ïðèìåð 2.8. Ðàññìîòðèì ôàêòîðû, âëèÿþùèå íà ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ óäåëüíîãî ýôôåêòèâíîãî ðàñõîäà òîïëèâà g e , êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ôóíêöèè âåëè÷èí, èçìåðÿåìûõ ïðÿìûì ìåòîäîì

ãäå G è t — äîçà òîïëèâà è âðåìÿ åå ðàñõîäà; ï t — ïîñòîÿííàÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ äâèãàòåëÿ çà âðåìÿ t n åå èçìåðåíèÿ; M e — êðóòÿùèé ìîìåíò íà âàëó äâèãàòåëÿ.

Ð å ø å í è å. Ïîãðåøíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

 ñîîòâåòñòâèè ñ íîðìàòèâàìè âåëè÷èíà g e äîëæíà áûòü èçìåðåíà ñ òî÷íîñòüþ äî 1 %. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî êàæäûé èç àðãóìåíòîâ îäèíàêîâî âëèÿåò íà îáùóþ ïîãðåøíîñòü, òî

Îäíàêî èçâåñòíûå ìåòîäû íå ïîçâîëÿþò èçìåðèòü M e ñ òî÷íîñòüþ âûøå ±0,5%, G — ±0,2%.  òî æå âðåìÿ ÷àñòîòó âðàùåíèÿ è âðåìåííûå èíòåðâàëû èìååòñÿ âîçìîæíîñòü èçìåðÿòü áîëåå òî÷íî — ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íå õóæå ±0,1%. Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðè èñïîëüçîâàíèè ñóùåñòâóþùèõ ñðåäñòâ èçìåðåíèÿ ñîñòàâèò ± (0,5+0,2+0,1+0,1+0,1) =± 1%, ÷òî óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ÃÎÑÒà.

Ïðèâåäåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè êîñâåííûõ èçìåðåíèé ïðåæäå âñåãî íóæíî ñòðå ìèòüñÿ ñíèçèòü íàèáîëüøèå ïîãðåøíîñòè îòäåëüíûõ àðãóìåíòîâ.

Òðàäèöèîííûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ îñíîâíîé çàäà÷è êîñâåííûõ èçìåðåíèé (íàõîæäåíèþ îöåíêè ðåçóëüòàòîâ êîñâåííîãî èçìåðåíèÿ è åãî ïîãðåøíîñòè) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:

·ïðåäïîëàãàþò äîñòàòî÷íóþ ãëàäêîñòü ôóíêöèè (2.19);

·ðàçëàãàþò ýòó ôóíêöèþ â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè àðãóìåíòà x i ;

·èññëåäóþò çíà÷èìîñòü îòáðàñûâàåìîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ðÿäà Òåéëîðà, ïðåäïîëàãàÿ íåçíà÷èòåëüíîñòü ïîãðåøíîñòåé îöåíîê àðãóìåíòà.

Ïðè ýòîì íåîáõîäèìû ñâåäåíèÿ (ðåàëüíûå èëè ïðèíèìàåìûå çà ðåàëüíûå) î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé àðãóìåíòà.

Äëÿ òåõíè÷åñêèõ èçìåðåíèé ïðåäëîæåí áîëåå ïðîñòîé è íå ìåíåå òî÷íûé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ìåòîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ñâîäÿùèé àíàëèòè÷åñêóþ çàäà÷ó ê âû÷èñëèòåëüíîé [13]. Ïðè ýòîì â èíôîðìàöèè î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà íåò íåîáõîäèìîñòè.  êà÷åñòâå îöåíêè ïðèíèìàåòñÿ ïîëóñóììà ìàêñèìàëüíîãî è ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèé ôóíêöèè Y , à îöåíêè àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè — ïîëóðàçíîñòü ýòèõ çíà÷åíèé:

(2.27)

Òîãäà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü

(2.28)

Ïðèìåð 2.9. Èçìåðåíèå ìîùíîñòè Ð â àêòèâíîé íàãðóçêå ñîïðîòèâëåíèåì R = 100 Îì ±5 Îì îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âîëüòìåòðà êëàññà òî÷íîñòè g = 1,5 ñ ïðåäåëîì èçìåðåíèÿ U ã = 300 Â. Îöåíèòü èçìåðåííóþ ìîùíîñòü è ïîãðåøíîñòü, åñëè ïðèáîð ïîêàçàë U ï =240 Â.

Ð å ø å í è å 1. Ïðåäåë àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè âîëüòìåòðà ñîñòàâëÿåò

Íàäî îòìåòèòü, ÷òî îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ âëèÿíèÿ ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ — çàäà÷à âåñüìà îòâåòñòâåííàÿ è òðóäîåìêàÿ. Íåîáõîäèìîñòü îöåíêè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ïîêà íå íàøëà äîëæíîãî ïîíèìàíèÿ, õîòÿ çíàíèå èõ íå òîëüêî ïîçâîëÿåò öåëåíàïðàâëåííî âåñòè ðàáîòó ïðè îïòèìèçàöèè ïðîèçâîäñòâåííûõ ïðîöåññîâ, íî è ïðè òåõíè÷åñêîì îáñëóæèâàíèè è ðåìîíòå, âûáîðå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñðåäñòâ è ìåòîäîâ èçìåðåíèÿ. Çà÷àñòóþ ýòî ôîðìèðóåò è òðåáîâàíèÿ ê ðåæèìàì ýêñïëóàòàöèè ÒÑ.

2.9.5. Ñîâìåñòíûå è ñîâîêóïíûå èçìåðåíèÿ

Îäíîâðåìåííûå èçìåðåíèÿ äâóõ èëè íåñêîëüêèõ âåëè÷èí íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòíûìè , åñëè óðàâíåíèÿ èçìåðåíèÿ äëÿ ýòèõ âåëè÷èí îáðàçóþò ñèñòåìó ëèíåéíûõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, äëÿ äâóõ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí õ è ó :

f 1 ( x 1 , y ; a 1 , b 1 ; ...; a 1 , b 1 ;...) = 0;

f 2 ( x, y ; a 2 , b 2 ; ...; a 1 , b 1 ;...) = 0,

ãäå a 1 , b 1 ; ...; a 2 , b 2 ;... — ðåçóëüòàòû ïðÿìûõ èëè êîñâåííûõ èçìåðåíèé; a 1 , b 1 ; ...; a 2 , b 2 ;... — ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû èëè ïîñòîÿííûå ÑÈ.

Åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé ïðåâûøàåò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ, òî ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ðåøàþò ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ÌÍÊ) è íàõîäÿò îöåíêè õ è ó è èõ ÑÊÎ. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ èñòèííûõ çíà÷åíèé õ è ó ñòðîÿò íà îñíîâå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Ïðè íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ïîãðåøíîñòåé ÌÍÊ ïðèâîäèò ê íàèáîëåå âåðîÿòíûì îöåíêàì, óäîâëåòâîðÿþùèì ïðèíöèïó ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ.

Ñîâîêóïíûå èçìåðåíèÿ îòëè÷àþòñÿ îò ñîâìåñòíûõ òîëüêî òåì, ÷òî ïðè ñîâîêóïíûõ èçìåðåíèÿõ îäíîâðåìåííî èçìåðÿþò íåñêîëüêî îäíîèìåííûõ âåëè÷èí, à ïðè ñîâìåñòíûõ — ðàçíîèìåííûõ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ó ýòèõ âèäîâ èçìåðåíèé îäèí. Ó÷èòûâàÿ õàðàêòåð èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí, ñîâìåñòíûå èçìåðåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå êîñâåííûõ, à ñîâîêóïíûå — êàê îáîáùåíèå ïðÿìûõ èçìåðåíèé.