· Ñîäåðæàíèå · Êóðñ · Çàäà÷è · Òåñòû · Ãëîññàðèé · Õðåñòîìàòèÿ · Èíòåðíåò ëèíê · Πíàñ · Êàðòà ñåðâåðà

» Ìåòðîëîãèÿ «

Ìîäóëü ¹3

Òî÷å÷íûå îöåíêè çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ

Ðàññìîòðåííûå âûøå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îïèñûâàþò ïîâåäåíèå íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ò.å. âåëè÷èí, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ íåîòäåëèìû äðóã îò äðóãà è íåïðåðûâíî çàïîëíÿþò íåêîòîðûé êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé èíòåðâàë. Íà ïðàêòèêå âñå ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé è ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè äèñêðåòíûìè, ò.å. âåëè÷èíàìè õ i , âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îòäåëèìû äðóã îò äðóãà è ïîääàþòñÿ ñ÷åòó. Ïðè èñïîëüçîâàíèè äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âîçíèêàåò çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ èõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íà îñíîâàíèè âûáîðîê - ðÿäà çíà÷åíèé õ i ïðèíèìàåìûõ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé õ â n íåçàâèñèìûõ îïûòàõ. Èñïîëüçóåìàÿ âûáîðêà äîëæíà áûòü ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé), ò.å. äîëæíà äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðåäñòàâëÿòü ïðîïîðöèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Îöåíêà ïàðàìåòðà íàçûâàåòñÿ òî÷å÷íîé, åñëè îíà âûðàæàåòñÿ îäíèì ÷èñëîì. Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê - ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷è íàõîæäåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà îñíîâàíèè âûáîðêè.  îòëè÷èå îò ñàìèõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ïðè÷åì èõ çíà÷åíèÿ çàâèñÿò îò îáúåìà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, à çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ - îò çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñàìèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Òî÷å÷íûå îöåíêè ìîãóò áûòü ñîñòîÿòåëüíûìè, íåñìåùåííûìè è ýôôåêòèâíûìè. Ñîñòîÿòåëüíîé íàçûâàåòñÿ îöåíêà, êîòîðàÿ ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêè. Íåñìåùåííîé íàçûâàåòñÿ îöåíêà, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîòîðîé ðàâíî îöåíèâàåìîé ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêå. Íàèáîëåå ýôôåêòèâíîé ñ÷èòàþò òó èç íåñêîëüêèõ âîçìîæíûõ íåñìåùåííûõ îöåíîê, êîòîðàÿ èìååò íàèìåíüøóþ äèñïåðñèþ. Òðåáîâàíèå íåñìåùåííîñòè íà ïðàêòèêå íå âñåãäà öåëåñîîáðàçíî, òàê êàê îöåíêà ñ íåáîëüøèì ñìåùåíèåì è ìàëîé äèñïåðñèåé ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåå íåñìåùåííîé îöåíêè ñ áîëüøîé äèñïåðñèåé. Íà ïðàêòèêå íå âñåãäà óäàåòñÿ óäîâëåòâîðèòü îäíîâðåìåííî âñå òðè ýòèõ òðåáîâàíèÿ, îäíàêî âûáîðó îöåíêè äîëæåí ïðåäøåñòâîâàòü åå êðèòè÷åñêèé àíàëèç ñî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ òî÷åê çðåíèÿ.
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ìåòîäîì ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ, êîòîðûé ïðèâîäèò ê àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííûì è ýôôåêòèâíûì îöåíêàì ñ ïðèáëèæåííî íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ñðåäè äðóãèõ ìåòîäîâ ìîæíî íàçâàòü ìåòîäû ìîìåíòîâ è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Òî÷å÷íîé îöåíêîé ÌÎ ðåçóëüòàòà èçìåðåíèé ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû

Ïðè ëþáîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ îíî ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé è íåñìåùåííîé îöåíêîé, à òàêæå íàèáîëåå ýôôåêòèâíîé ïî êðèòåðèþ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Òî÷å÷íàÿ îöåíêà äèñïåðñèè, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ôîðìóëå
ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé.
ÑÊÎ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû õ îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè. Ñîîòâåòñòâåííî åãî îöåíêà ìîæåò áûòü íàéäåíà ïóòåì èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç îöåíêè äèñïåðñèè. Îäíàêî ýòà îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé ïðîöåäóðîé, ïðèâîäÿùåé ê ñìåùåííîñòè ïîëó÷àåìîé òàêèì îáðàçîì îöåíêè. Äëÿ èñïðàâëåíèÿ îöåíêè ÑÊÎ ââîäÿò ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü k(n), çàâèñÿùèé îò ÷èñëà íàáëþäåíèé ï. Îí èçìåíÿåòñÿ îò k(3) = 1,13 äî k() 1,03. Îöåíêà ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ
Ïîëó÷åííûå îöåíêè ÌÎ è ÑÊÎ ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè ïîâòîðåíèÿõ ñåðèé èç n íàáëþäåíèé êàæäûé ðàç áóäóò ïîëó÷àòüñÿ ðàçëè÷íûå îöåíêè è . Ðàññåÿíèå ýòèõ îöåíîê öåëåñîîáðàçíî îöåíèâàòü ñ ïîìîùüþ ÑÊÎ è . Îöåíêà ÑÊÎ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ
Îöåíêà ÑÊÎ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ÑÊÎ ìîæåò áûòü îöåíåíà êàê
Îíà çàâèñèò òîëüêî îò ýêñöåññà è ÷èñëà íàáëþäåíèé â âûáîðêå è íå çàâèñèò îò ÑÊÎ, ò.å. òîé òî÷íîñòè, ñ êîòîðîé ïðîèçâîäÿòñÿ èçìåðåíèÿ. Ââèäó òîãî, ÷òî áîëüøîå ÷èñëî èçìåðåíèé ïðîâîäèòñÿ îòíîñèòåëüíî ðåäêî, ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ à ìîæåò áûòü âåñüìà ñóùåñòâåííîé.  ëþáîì ñëó÷àå îíà áîëüøå ïîãðåøíîñòè èç-çà ñìåùåííîñòè îöåíêè, îáóñëîâëåííîé èçâëå÷åíèåì êâàäðàòíîãî êîðíÿ è óñòðàíÿåìîé ïîïðàâî÷íûì ìíîæèòåëåì k(n).  ñâÿçè ñ ýòèì íà ïðàêòèêå ïðåíåáðåãàþò ó÷åòîì ñìåùåííîñòè îöåíêè ÑÊÎ îòäåëüíûõ íàáëþäåíèé è îïðåäåëÿþò åãî ïî ôîðìóëå

ò.å. ñ÷èòàþò k(n)=l.
Èíîãäà îêàçûâàåòñÿ óäîáíåå èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà îöåíîê ÑÊÎ îòäåëüíûõ íàáëþäåíèé è ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ:

Òî÷å÷íûå îöåíêè äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé èñïîëüçóþòñÿ çíà÷èòåëüíî ðåæå. Îöåíêè êîýôôèöèåíòà àñèììåòðèè è ýêñöåññà íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì

Îïðåäåëåíèå ðàññåÿíèÿ îöåíîê êîýôôèöèåíòà àñèììåòðèè è ýêñöåññà îïèñûâàåòñÿ ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè â çàâèñèìîñòè îò âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ.
www.msaab.ru
© ÌÃÓÏÁ Öåíòð ÄÎ 2001